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固有振動

固有振動 (vibration of normal mode) とは、物体を自由に振動したときに観測される、その物体固有の振動のこと。固有振動姿態（固有モード）を与える振動。固有振動の周波数のことを固有周波数という。

損失のない振動系の場合、自由振動は固有振動の合成として表される。

例：弦の振動における固有振動


張力Tで張られた線密度\rhoの一様な弦の振動は、つぎの波動方程式で表される。 

 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} =  \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}      (c=\sqrt{T/\rho})

ただし弦はy方向に振動するものとする。 この偏微分方程式の解は、

y = X(x)T(t)

として、xだけの関数、tだけの関数の積で与えられることがわかっている。これを前式に代入すると、 

 \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \frac{1}{c^2T}\frac{d^2T}{dt^2}

という関係が得られる。この両辺が等しいためには、両辺がある定数に等しくなければならない。その定数を-\alpha^2 とすると、 

 \frac{d^2X}{dx^2}+\alpha^2 X = 0    ,    \frac{d^2T}{dt^2}+\alpha^2c^2 T = 0

の２式が得られ、２式を解くことによって 

 y(x,t) = (A_p\cos\alpha x + A_q\sin\alpha x) (B_p\cos\alpha ct + B_q\sin\alpha ct)

が導かれる。ここに境界条件として x=0 と x=l で X=0 であるとすると、 

 X_m=C_m\sin\alpha_mx = C_m\sin\frac{m\pi}{l}x      (m=1,2,...)

が得られる。ここで\alpha_mはm次の固有値 (eigen-value) といわれ、この各固有値で表される姿態を固有振動姿態（固有モード）という。

この変数mで表される振動の一つ一つを固有振動といい、自由振動の振動姿態は、固有振動の重ね合わせで表わされる。したがってこの場合の弦の自由振動の一般解は次式となる。 

 y(x,t) = \sum_{m=1}^{\infty} C_m\sin\alpha_mx(B_p\cos\alpha ct + B_q\sin\alpha ct)

参考文献

  • 基礎音響工学 (コロナ社)
  • 音響用語辞典 (日本音響学会編、コロナ社)

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最終更新：2009年01月23日 02:34
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