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フーリエ級数とフーリエ変換

フーリエ級数展開 (Fourier series) とは、周期関数に対する三角関数による直行展開のことである。

フーリエ級数展開

 x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos(k\omega_0t) + b_k \sin(k\omega_0t))

ただし、

a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2 }x(t)dt

a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)\cos(k\omega_0t)dt

b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)\sin(k\omega_0t)dt

x(t)が複素数の場合は、 

 x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0t}

c_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t) e^{jk\omega_0t} dt

となる。


フーリエ変換

一方、フーリエ変換 (Fourier transform)は、フーリエ級数展開の無限時間への拡張であると考えることができる。

T \rightarrow \infty , \sum \rightarrow \int

連続時間信号x(t)のフーリエ変換X(\omega)は 

 X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt

で定義され、その逆変換は 

 x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega

となる。連続時間フーリエ変換の存在条件は

\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt < \infty

である。

離散時間フーリエ変換

離散時間信号x(n)のフーリエ変換X(e^{j\omega})は 

 X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}

で定義される。 X(e^{j\omega}) は角周波数\omegaに対して周期的であり、周期は2\piである。逆変換は 

 x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega

である。離散時間フーリエ変換の存在条件は

\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|dt < \infty

である。

離散時間フーリエ変換は、離散フーリエ変換(DFT)とは異なるので注意が必要である。

参考文献

  • 基礎音響工学 (コロナ社)
  • 音響用語辞典 (日本音響学会編、コロナ社)

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最終更新：2009年01月21日 20:54
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