システムに対する有限個の入力に対して、出力も有限の範囲にある場合、そのシステムは安定であるという。
極の位置と安定性
以下、線形時不変システムについて安定性と極の位置の関連性について考える。
連続時間システム
まず、連続時間システムについて考える。（連続時間システムについては
線形時不変システムを参照。）
連続時間システムの解析には、
ラプラス変換を用いる場合が多く、この場合、逆ラプラス変換を行う元の分数式における極、すなわち(分母)=0を満たす複素数解が安定性に関わってくる。
具体的には、
![\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s-a} \right] = e^{at} = e^{(\alpha + j\beta ) t}=e^{\alpha t}e^{j\beta t}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=%5Cmathcal%7BL%7D%5E%7B-1%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-a%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20e%5E%7Bat%7D%20%3D%20e%5E%7B%28%5Calpha%20%2B%20j%5Cbeta%20%29%20t%7D%3De%5E%7B%5Calpha%20t%7De%5E%7Bj%5Cbeta%20t%7D)
となることを考えると、極（ここではs=a）の実数部（ここではα）が
- 負であれば、減衰振動
- 実数部が0であれば、振幅一定の振動
- 実数部が正であれば無限大に発散
となることがわかる。したがって、s平面（縦軸が虚数軸、横軸が実数軸）に極をプロットすると、
において、システムは安定である。
離散時間システム
離散時間システムにおいては、
z変換を用いる場合が多く、この場合、逆z変換を行う元の分数式における極の位置が安定性に関わってくる。
ラプラス変換とz変換の対応を考えると、
であるから、s<0という条件は、|z|<1という条件に対応するということがわかる。したがって離散時間システムの場合は、逆z変換を行う分数式の極をz平面（縦軸が虚数軸、横軸が実数軸)にプロットしたとき
において、システムが安定であるということがわかる。
参考文献
最終更新：2009年01月24日 01:45
