波動方程式

一般に、次の二階偏微分方程式のことを波動方程式という。

この式を解くためには、

という同時式に直し、導かれる２式が定数となる（この定数は というようにおくことが多い）ということから解を求める。上式は１次元においての式（例えば弦の振動を表す）であるが、２次元（例えば膜の振動）に拡張すると以下の式で表される。

同様に、３次元（例えば空気の振動）では次の式となる。

この２次元波動方程式と３次元波動方程式は、それぞれ系の形が長方形や直方体の場合に有用である。もし系の形が円や円筒の場合は円筒座標系を用い、系の形が円や球の場合は極座標系を用いると演算が容易になる。

この場合、波動方程式の形が座標系に応じてそれぞれ変わってくるが、演算子（ナブラ）を用いて、

のように表示することが可能である。ただし、座標系に応じて の演算の種類が変更されることに注意しなければならない。